Tipos de cuerpos.
Los cuerpos geométricos pueden ser de dos
clases: los formados por caras
planas (poliedros) o los que tienen algunas o
todas sus caras curvas (cuerpos redondos o de revolución)
Entre los poliedros que existen
están los poliedros regulares y los no regulares (prismas y pirámides).
Poliedros Regulares
Se los conocen con el nombre de
“Sólidos platónicos” en honor a Platón (Siglo IV a.C.) quien los cita en el
Timeo.
Los sólidos
platónicos o regulares son:
Estos cinco solidos (los únicos
poliedros regulares) son formas completamente simétricas que tienen todos los
lados iguales, todos los ángulos iguales, y los cincos caben dentro de la
esfera.
Propiedades que corroboran lo antes planteado:
Teorema: Existen únicamente cinco poliedros regulares; ello
debido a la posibilidad de construcción de sus ángulos sólidos que admiten
triángulos equiláteros, o cuadrados, o bien pentágonos, que deben ser menor de
360°.
Regularidad. Tal y como se ha
expresado para definir estos poliedros:
- Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
- En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
- Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
- Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
- Todos sus vértices son convexos a los del icosaedro.
Simetría. Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simétricas:
- El centro de un cubo (de un octaedro regular) es centro de simetría de dicha figura, devuelve la misma figura; mas no lo es, el centro de un tetraedro regular.
- Todos ellos gozan respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas, pero no se conserva la figura original.
- Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
- Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.
- Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:
- Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
- Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
- Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.
Proyectando los centros de las aristas
de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de
simetría del poliedro se obtiene una red esferica regular, compuesta por arcos iguales de circulo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.
Características
de los poliedros regulares.
Tetraedro:
es un poliedro de cuatro caras. Con este número de
caras ha de ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de
ellas en cada vértice.
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| DESARROLLO |
Cubo: es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes.
Un cubo, además de ser un hexaedro,
puede ser clasificado también como paralelepípedo,
recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a
dos, e incluso como un prisma de
base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base. |
| Desarrollo |
Octaedro: Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales. Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.
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| desarrollo |
Dodecedro:Un dodecaedro regular es un poliedro regular formado por 12 pentágonos regulares iguales. |
| desarrollo |
Icosaedro: Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales.
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| desarrollo |
Poliedros no Regulares
PRISMAS
Y PIRÁMIDES
El prisma
es un poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales cuyos
planos son paralelos.
Los polígonos
iguales y paralelos ABC y DEF ; ABCDJ y EFGHI se llaman bases del prisma; las demás
caras (paralelogramos) forman la superficie
lateral del prisma.
Las aristas
laterales son aquellas que no pertenecen a
las bases: AE, BF, CD ;
AG ,
BH , C I, DE, J F .
El prisma
recto es aquel cuyas aristas laterales son
perpendiculares a los planos de las bases, como los de la
figuras mencionadas.
CARACTERÍSTICAS DE LOS
PRISMAS
La altura de un prisma es la
distancia entre los planos de sus bases, y así, en el prisma recto la altura es
igual a las aristas laterales.
En el prisma oblicuo las aristas
laterales no son perpendiculares a los planos de las bases, y la
altura se obtiene trazando desde un punto de una base la
otra base.
De acuerdo con el número de lados de los
polígonos que forman las bases, los prismas pueden ser triangulares,
cuadrangulares, pentagonales, etc.
TRONCO DE PIRÁMIDE
El tronco de una pirámide es la
porción ABC DEE 'A 'B 'C
'D' de pirámide comprendida entre la base y un plano paralelo
que corte a todas las aristas laterales. V A 'B 'C'
D
'E ' es una pirámide
deficiente.
Si
el tronco es de una pirámide regular, las caras
laterales son trapecios isósceles iguales.
La
altura de uno de los trapecios se llama apotema
del tronco y se designa por a t :
Área
lateral del tronco de pirámide regular.
Siendo L cada lado de la base mayor
y l cada lado de la base menor
la altura de los trapecios
o apotema del tronco es a t :
área de un trapecio = L+l x a t
2
Como el área lateral está formada por n
trapecios, tendremos:
"El área lateral de un tronco de
pirámide regular es igual a la semisuma de los perímetros de sus bases, por la
apotema del tronco".
El área total de un tronco es igual al área lateral
más las áreas de las dos bases
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