Volumenes

Introduccion.

El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen
tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las
superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo
 no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de 
cuerpos redondos.

La fórmula para  calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.

Para medir el volumen de un cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son:
 milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico.

VOLÚMENES DE LOS POLIEDROS

 En general los poliedros son figuras limitadas por planos, tales que cada plano deja 
a todos los demás puntos de la figura en el mismo espacio, es una superficie poliédrica
o poliedro. Los polígonos que limitan la figura son las caras del poliedro, los lados y los
vértices de las caras son las aristas y los vértices del poliedro, y los ángulos poliedros 
cuyos vértices y aristas son los vértices y aristas del poliedro son los ángulos poliedros 
del poliedro.

En general se utilizan las locuciones superficie poliédrica y poliedro como sinónimos,
aunque con más propiedad la superficie poliédrica es el conjunto de los puntos de los 
planos que limitan la figura y el poliedro es sólido, conjunto de los puntos del espacio
 comunes a todos los ángulos poliedros de la superficie poliédrica.

Definiciones:

 El volumen de un poliedro es la medida del espacio limitado por el cuerpo, y para 
medirlo se toma como unidad, un cubo de arista igual a la unidad de longitud. En el 
sistema métrico decimal, la unidad es el metro cúbico (m³). También se usan como 
unidades los múltiplos y divisores del metro cúbico.

   

 Dos poliedros  que tienen igual volumen se

 llaman equivalentes. 

   

 "DOS PRIMAS RECTOS DE BASE Y ALTURA IGUALES,

 SON IGUALES"

    

 Así por ejemplo, los prismas rectos ABCDEFGH y A 'B 'C 'D  E 'F 'G 'H ', que tienen iguales sus bases ABC D y

 A 'B 'C 'D ' y sus alturas AH y A 'H ' son iguales.

 

             TEOREMA 1

     "El volumen de un ortoedro es igual al producto de sus tres dimensiones". 

Supongamos un ortoedro cuyas dimensiones son 4, 3 y 2 cm respectivamente.

     Si trazamos planos que pasen por los puntos de división, como se aprecia en la figura, encontramos que el ortoedro contiene dos capas, y cada una contiene 4 × 3 = 12 cubos unidad (12 cm³ en este caso). En total, el ortoedro contendrá: 4 × 3 × 2 = 24 cm³ y éste será el volumen del cuerpo.   si las dimensiones del ortoedro son a, b y c , el volumen V está expresado por la fórmula:

                      V = a × b × c

Corolario 1: El volumen de un cubo es igual al cubo de la longitud de su arista (l ). En efecto: el cubo es un ortoedro cuyas tres dimensiones son iguales, luego:

V = l × l × l = l ³

  

Corolario 2: El volumen de un otroedro es igual al producto del área de la base por altura. En efecto: el producto de dos dimensiones (largo por ancho) es precisamente el área de la base, por ser este rectángulo, por lo tanto

                        V= área de la base por la altura

siendo la altura la tercera dimensión.

TEOREMA 2

     "La razón de los volúmenes de dos ortoedros es igual a la razón de los productos de sus tres dimensiones."

     Siendo los ortoedros de dimensiones a , b, c y a ', b ', c ' respectivamente. Sus volúmenes, según el teorema anterior, son:

V = a b c ;     V ' = a 'b 'c '

y dividiendo miembro por miembro:

                                 V = a b c

                                             V'= a'b'c'

TEOREMA 3

     "La razón de los volúmenes de dos ortoedros de igual base es igual a la razón de sus alturas".

     Si los dos ortoedros tienen igual base, significa que dos de sus dimensiones, el largo y el ancho, son iguales. Entonces las dimensiones de los ortoedros son a , b , c y a ', b, c 

Según el teorema anterior tendremos: V = a b c

                                                                     v' = a'b'c'

simplificando: V = a

                          v' = a'

TEOREMA DEL VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO RECTO

     "El volumen de un paralelepípedo recto es igual al producto del área  de la base por la medida de la altura".

Hipótesis: ABCDG es un paralelepípedo recto de altura AE  y cuya base es el paralelogramo ABCD de área B.

TESIS: V= area ABCD X AE = Bxh          

 Demostración: Tracemos los planos BNLF y AMKE perpendiculares a la cara ABFE quedando determinado el ortoedro ABNMKEFL cuya base es el rectángulo ABNM y su altura la misma del paralelepípedo, o sea, . AE

  

Entonces: <1=<2    

LADOS PARALELOS Y DEL MISMO SENTIDO

 Ademas: AM= BN

                                    } Lados opuestos del paralelograma

                  AD= BC 

 por lo tanto  AMD = BCN Por tener iguales dos lados y el ángulo comprendido.

     Por tanto, los prismas triangulares AMDHKE y BNCGLF son iguales (por tener las bases y las alturas iguales).

     De donde se deduce que el prisma ABCDG y el ortoedro ABNML son equivalentes, pues ambos se componen de una parte común: el prisma ABNDL, y de prismas triangulares iguales.

Por tanto:     Volumen de ABCDG = Volumen de ABNML

y como:        Volumen ABMNL = área ABNM × AE

resulta:         Volumen ABCDG = área ABNM × AE

     Pero el rectángulo ABNM es equivalente al paralelogramo ABCD y, por lo tanto.

V= ABCD x AE     por lo tanto V=Bxh

TEOREMA DEL VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO CUALQUIERA

 

   "El volumen de un paralelepípedo cualquiera es igual al producto del área de la base por la longitud de la altura".

 Demostración:

Si ABCD A'B'C'D', es un paralelepípedo cualquiera, 

EFG H su sección recta y HM = h, la altura de esta 

sección (la misma del paralelepípedo), resulta que:

V= area seccion EFGH x AB

 

ya que el paralelepípedo oblicuo equivale al paralelepípedo recto cuya base es la sección recta EFGH y su 

altura la arista AB.

   Como el área de la sección recta es: area seccion EFGH= EFxh

   Sustituyendo (2) en (1) tenemos: V= EFx AB x h

 pero: EFx AB = area del paralelogramos ABCD.

   Si llamamos B al área de la base ABCD , resulta: V= b x h